taylorsche Reihe

taylorsche Reihe

 

['teɪlə-; nach B. Taylor], eine Reihe der Gestalt

 

wobei f eine im Punkt x₀ beliebig oft differenzierbare Funktion ist. Ist x₀ = 0, so wird die taylorsche Reihe auch maclaurinsche Reihe genannt. Die taylorsche Reihe einer Funktion besitzt im Allgemeinen keinen positiven Konvergenzradius und stellt auch in diesem Fall die Funktion nicht immer dar, wie das Beispiel

 

zeigt: Es ist f⁽ⁿ⁾ (0) = 0 für alle n ∈ ℕ, weshalb die taylorsche Reihe von f um 0 identisch null ist und folglich konvergiert, aber sie stellt f nur im Nullpunkt dar. Bezogen auf die nach dem taylorschen Satz mögliche Darstellung

 

der in einer Umgebung von x₀ beliebig oft differenzierbaren Funktion f ist

 

hinreichend dafür, dass

 

Besitzt die Funktion f in einer Umgebung von x₀ die Darstellung

 

so ist sie komplex fortsetzbar, und der Identitätssatz für Potenzreihen garantiert, dass in einer Umgebung von x₀ Ableitungen beliebig hoher Ordnung von f existieren und

 

für alle i ∈ ℕ, die Funktion f also durch ihre taylorsche Reihe dargestellt wird.